Définition : Pour toute application continue $f : [a;b] \to \mathbb{R}$ et tout réel $u$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = u$.

Cas particulier du TVI : Si $f(a) \times f(b) \leq 0, ~\exists ~c \in [a;b]$ tel que $f(c) = 0$.

Le corollaire du TVI : application au fonctions monotones.

$f : [a;b] \to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone et $c$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe une unique solution sur $[a;b]$ à l’équation $f(x) = c$.

Cette propriété s’étend aux intervalles ouverts ou semi-ouverts, par exemple si $f$ est continue sur $[a;+\infty[$ avec $c$ compris entre $f(a)$ et la limite de $f(x)$ en $+\infty$.

Méthode par dichotomie.

Pour trouver une solution de $f(x) = 0$, l’algorithme suivant permet de donner une valeur approchée de $\alpha$.

def dichotomie(f, a, b, eps):
	while abs(b-a) > eps:
		c = (a+b)/2
		if f(c) <= 0:
			a = c
		else:
			b = c
	return(a)