Définition : Une base d’un plan est formé à partir de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaire, ses deux vecteurs sont appelés vecteurs directeur du plan. Une base de l’espace est formé a partir de trois vecteurs non coplanaire.

Définition : Soient $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$, 3 vecteurs de l’espace tels que $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaire alors : $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ sont coplanaires ssi on peut écrire $\overrightarrow{w}$ comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$.

• Montrer que un point appartient a un plan :

  Soit le point $M(x;y;z)$, on dis que :

  $$ M \in (ABC) \iff \exists ~k, k' \in \mathbb{R} ~\text{tels que}~ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB} + k'\overrightarrow{AC} $$

• Position relative des plans dans l’espace.

  • Montrer que un plan est parallèle a un autre.

    Soit $(ABC)$ et $(EFG)$, on a donc :

    $$ (ABC) ~//~ (EFG) \iff \overrightarrow{AB} ~\text{colinéaire à}~\overrightarrow{EF} ~\text{et}~ \overrightarrow{AC} ~\text{colinéaire à}~\overrightarrow{EG} $$

  • Montrer que un plan est sécant avec un autre

    Pour montrer que un plan est sécant avec un autre on vérifie si ils sont parallèle, si ils ne le sont pas alors ont dis que les plans sont sécants.