Somme de deux vecteurs.

• Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs de l’espace, on définit le vecteur $\overrightarrow{w}$ comme la somme de ces deux vecteurs dans les deux cas suivants :
  • Relation de Chasles : s’il il existe trois points de l’espace $A, B, C$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{BC}$ alors $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC}$ .
  • Règle du parallèlogramme : s’il existe trois points de l’espace $A, B, D$ tels que $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AD}$ alors $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC}$ , $C$ étant le 4ème sommet du parallélogramme $ABCD$.

Produit d’un vecteur par un réel.

• Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul, alors on note $k\overrightarrow{u}$, le vecteur défini par :
  • $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction
  • si $k > 0, \overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont le même sens, sinon ils ont des sens opposés
  • la norme du vecteur $k\overrightarrow{u}$ est égale à la valeur absolue de $k$ multiplié par la norme de $\overrightarrow{u}$ : $|| k\overrightarrow{u}|| = |k| \times ||\overrightarrow{u}||$

Soustraction de vecteur.

• Ajouter au premier l’opposé du second.

Remarques :

• L’addition de deux vecteurs est une opération commutative et associative.
• La multiplication d’un vecteur par un réel est une opération associative et distributive par rapport à l’addition.
• $k\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \iff k = 0 \quad \text{ou} \quad \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$