Définition : Soit $f$ une fonction défini sur un intervalle ouvert contenant un réel $x_0$ . On dit que $f$ est continue en $x_0$, si $f$ a une limite en $x_0$. Cette limite est alors nécessairement $f(x_0)$.

• $f$ continue en $x_0$ si est seulement si :

$$ \lim_{\substack{x \to x_0 \\ x~<~ x_0}} ~f(x) = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ x~>~ x_0}} ~f(x) = f(x_0) $$

Dire que $f$ est continue sur un intervalle $I$ signifie que $f$ est continue en tout point sur $I$.

Propriété : $f$ continue sur $I$ $\to$ $f$ défini sur $I$.

Propriété : Les fonctions constantes, polynômes, rationnelles, racine carré, valeur absolue, la fonction exponentielle sont continue partout où elles sont définies. Les sommes, produits de fonctions continues sont continue.

• si $f$ est continue sur $I$ et ne s’annule pas sur $I$ alors $\frac{1}{f}$ est continue sur $I$.
• si $f$ est continue sur $I$ à valeurs dans $J$, $g$ est continue sur $J$ alors la composée de $f$ puis de $g$ est continue sur $I$.