La fonction $\ln(x)$ est une fonction défini sur $]0; +\infty[$
Attention! $\ln(0) = \varnothing$ !!!! (voir ensemble de définition).
Particularités de la fonction logarithme népérien :
$$ \ln(1) = 0 \quad \quad \ln(e) = 1 \\ e^{\ln(x)} = x\quad \quad ln(e^x) = x $$
La fonction présente 2 limites en $0$ et $+\infty$ :
$$ \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \ln(x) = -\infty \quad \quad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty $$
Propriétés algébrique de la fonction logarithme népérien :
$$ \ln(x\times y) = \ln(x)~+~\ln(y) \quad \quad \ln\bigg(\frac{1}{x}\bigg) = -\ln(x) \\ \ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2}\ln(x) \quad \quad \ln(x^n) = n\ln(x) \\ \ln \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \ln(x) - \ln(y) $$
Dérivée de la fonction logarithme népérien :
$$ (\ln(x))' = \frac{1}{x} \quad \quad (\ln(u))' = \frac{u'}{u} $$
Équations et inéquations de la fonction logarithme népérien :
$$ \ln(x) = \ln(y) \iff x = y \\ \ln(x) \leq \ln(y) \iff x \leq y $$
car $\ln(x)$ est strictement croissante.
Limite par croissance comparées de la fonction logarithme népérien :
$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln{x}}{x} = 0 \quad \quad \lim_{x\to0^+} x\ln{x} = 0 $$
Et également si $x^n$.
Limite par taux d’accroissement de la fonction logarithme népérien :