Définition : Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l’espace, alors ils définissent une unique droite notée $(AB)$. Un point $M$ appartenant a cette droite ssi $\exists ~k \in \mathbb{R*}$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB}$ est le vecteur directeur de la droite $(AB)$.

Une droite dans l’espace peut être exprimée sous la forme d’une représentation paramétrique :

$$ d_1 : \begin{cases} x_a + \alpha_t \\ y_a + \beta_t \\ z_a + \gamma_t\end{cases}, ~ t\in \mathbb{R} $$

• Où :
  • $x_a, y_a, z_a$ sont les coordonnées d’un point de la droite.
  • $\alpha_t , \beta_t, \gamma_t$ sont les coordonnées du vecteur directeur de la droite.

Montrer que un point appartient a une droite.

• Soit $M(x;y;z)$, on a donc :

$$ d_1 : \begin{cases} x_M = x_a + \alpha_t \\ y_M = y_a + \beta_t \\ z_M = z_a + \gamma_t\end{cases}, ~ t\in \mathbb{R} $$

On cherche ici a trouver si $\exists ~t\in \mathbb{R},$ satisfaisant les trois équations.

Positions relatives des droites dans l’espace.

• Montrer que une droite est parallèle a une autre se fait en montrant une colinéarité entre les vecteur directeurs de chaque droite.

$$ d_1 : \begin{cases} x_a + \alpha_t \\ y_a + \beta_t \\ z_a + \gamma_t\end{cases}, ~ t\in \mathbb{R} \quad \quad d_2 : \begin{cases} x_b + \alpha_{t'} \\ y_b + \beta_{t'} \\ z_b + \gamma_{t'}\end{cases}, ~ t'\in \mathbb{R} $$

$$ \overrightarrow{u}{d{1}} \begin{pmatrix} \alpha_t \\ \beta_t \\ \gamma_t \end{pmatrix} \text{colinéaire ?} ~~ \overrightarrow{v}{d{2}} \begin{pmatrix} \alpha_{t'} \\ \beta_{t'} \\ \gamma_{t'} \end{pmatrix} $$

• Montrer que deux droites sont sécantes se fait en testant si il existe un lien entre leur représentation paramétrique respectif.

  • Montrer que elles sont sécante :

  $$ \begin{cases} x_a + \alpha_t = x_b + \alpha_{t'}\\ y_a + \beta_t = y_b + \beta_{t'}\\ z_a + \gamma_t = z_b + \gamma_{t'}\end{cases} $$

  Si on obtient un $t$ et $t'$ valide alors les droite se coupe en un point d’intersection.

  • Déterminer le point d’intersection :

    Remplacer dans le système de $d_1$ ou $d_2$ le $t$ ou le $t'$ obtenue afin de récupérer les coordonnées du point du d’intersection.

  • Note : Si une droite n’est pas parallèle ET non sécante a une autre, alors on dit que les droites sont non coplanaire.

• Montrer que une droite est parallèle a un plan reviens a montrer qu’il existe une combinaison linéaire entre le vecteur directeur d’une droite et deux des vecteurs directeurs du plan.

  $$ \overrightarrow{U}{d{1}} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC} $$

  Cela reviens a faire un système de la forme :

  $$ \begin{cases} x_{\overrightarrow{U}} = x_{\overrightarrow{AB}}\alpha + x_{\overrightarrow{AC}}\beta\\ y_{\overrightarrow{U}} = y_{\overrightarrow{AB}}\alpha + y_{\overrightarrow{AC}}\beta \\ z_{\overrightarrow{U}} = z_{\overrightarrow{AB}}\alpha + z_{\overrightarrow{AC}}\beta \end{cases} $$

  • Note : Si une droite n’est pas parallèle a un plan alors elle est sécante avec ce dernier.